Aplicación de Calculo Diferencial

Recta tangente a una función en un punto[editar]

La recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia considerado.

Si se conoce la ecuación de la recta tangente T_a(x) a la función f(x) en el punto a puede tomarse T_a(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del punto a. Esto quiere decir que, si se toma un punto a + h y se evalúa tanto en la función como en la recta tangente, la diferencia ${\displaystyle f(a+h)-T(a+h)}$ será despreciable frente a h en valor absoluto si h tiende a cero. Cuanto más cerca se esté del punto a tanto más precisa será la aproximación de f(x).

Para una función f(x) derivable localmente en el punto a, la recta tangente a f(x) por el punto a es:

T_a(x)= f(a) + f '(a)(x-a).

Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones

Las derivadas son una herramienta útil para examinar las gráficas de funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. El criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada permiten determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno.

En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la función en el punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local; si todos son negativos, entonces es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (es decir, los engeivalores son 0 y 3).

Una vez que se encuentran los extremos locales, es mucho más fácil hacerse de una burda idea de la gráfica general de la función, ya que (en el caso del dominio monodimensional) se incrementará o decrementará uniformemente excepto en los puntos críticos, y por ello (suponiendo su continuidad) tendrá valores intermedios entre los valores en los puntos críticos de cada lado.

Aproximación local de Taylor

Artículos principales: Serie de Taylor y Teorema de Taylor.

Es posible entonces aproximar mediante su recta tangente a una función derivable localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientemente suave en el punto o dominio de estudio (esto es, la función es de clase ${\displaystyle \scriptstyle C^{n}}$), entonces se puede aproximar la función no por polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Esta aproximación recibe el nombre de «desarrollo polinómico de Taylor» y se define de la siguiente manera:

${\displaystyle P(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots +{\frac {f^{n}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Donde P(x) es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto x=a. Nótese que, si se evalúa P(x) en x=a, todos los términos salvo el f(a) se anulan; luego, P(a) = f(a). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior corresponde al caso en el que n=1.

Cuando a = 0, el desarrollo se denomina desarrollo de MacLaurin. En la práctica, la mayoría de las veces se emplean desarrollos de MacLaurin. Ejemplos de desarrollos importantes de MacLaurin son:

${\displaystyle e^{x}\approx 1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots }$

${\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

${\displaystyle \ln(1+x)\approx x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

Nótese el símbolo ${\displaystyle \approx }$ que denota aproximación, no igualdad. Si la función a aproximar es infinitamente derivable (${\displaystyle \scriptstyle C^{\infty }}$) y se agregan infinitos términos al desarrollo, entonces el ${\displaystyle \approx }$ se convierte en un ${\displaystyle =}$ y el desarrollo anterior se convierte en una serie de Taylor. Las funciones que son igual a su serie de Taylor se denominan funciones analíticas.

Cálculo de puntos

Puntos singulares

Se denominan puntos singulares o puntos estacionarios a los valores de la variable en los que se anula la derivada f'(x) de una función f(x), es decir, si f´(x)=0 en x₁, x₂, x₃, . . ., x_n. Entonces, x₁, x₂, x₃, . . ., x_n son puntos singulares de f(x).

Los valores f(x₁), f(x₂), f(x₃), . . ., f(x_n), se llaman valores singulares.

Puntos críticos

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos suele ser una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden emplearse en optimización. No obstante, nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas.